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legendre

• cmath[meta header]
• function[meta id-type]
• std[meta namespace]
• [mathjax enable]
• cpp17[meta cpp]

namespace std {
  double
    legendre(unsigned int n,
             double x);              // (1) C++17
  floating-point-type
    legendre(unsigned int n,
             floating-point-type x); // (1) C++23

  Promoted
    legendre(unsigned int n,
             Arithmetic x);          // (2) C++17

  float
    legendref(unsigned int n,
              float x);              // (3) C++17

  long double
    legendrel(unsigned int n,
              long double x);        // (4) C++17
}

• Promoted[italic]
• Arithmetic[italic]

概要

ルジャンドル多項式 (Legendre polynomials) を求める。

• (1) :
  • C++17 : doubleに対するオーバーロード
  • C++23 : 浮動小数点数型に対するオーバーロード
• (2) : 算術型に対するオーバーロード (対応する精度の浮動小数点数型にキャストして計算される)
• (3) : float型規定
• (4) : long double型規定

戻り値

引数 l, x のルジャンドル多項式 $$ P_l(x) = \frac{1}{2^l l!} \frac{\mathrm{d}^l}{\mathrm{d}x^l} (x^2 - 1)^l \quad \text{for } |x| \le 1 $$ を返す。

備考

• n >= 128 の場合、この関数の呼び出しの効果は実装定義である
• (1) : C++23では、拡張浮動小数点数型を含む浮動小数点数型へのオーバーロードとして定義された

例

#include <cmath>
#include <iostream>

void p(unsigned n) {
  for (double x : {-1., 0., 1.})
    std::cout << "legendre(" << n << ", " << x << ") = " << std::legendre(n, x) << "\n";
  std::cout << "\n";
}

int main() {
  p(0); // P0(x) = 1
  p(1); // P1(x) = x
  p(2); // P2(x) = (3x^2 - 1) / 2
  p(3); // P3(x) = (5x^3 - 3x) / 2
}

• std::legendre[color ff0000]

出力例

legendre(0, -1) = 1
legendre(0, 0) = 1
legendre(0, 1) = 1

legendre(1, -1) = -1
legendre(1, 0) = 0
legendre(1, 1) = 1

legendre(2, -1) = 1
legendre(2, 0) = -0.5
legendre(2, 1) = 1

legendre(3, -1) = -1
legendre(3, 0) = 0
legendre(3, 1) = 1

バージョン

言語

• C++17

処理系

• Clang: ??
• GCC: 7.1.0 [mark verified]
• ICC: ??
• Visual C++: ??

備考

• GCC 7, 8 には $x$ として [-1.0, 1.0] の範囲外の値を渡した時に、std::domain_error を投げるバグがあった (GCC 7.5, 8.2, 8.4 [mark verified])。 GCC 9 以降では直っている (GCC 9.3, 10.5, 11.4, 12.3, 13.2, 15.0 [mark verified])。

実装例

閉形式

$$ P_l(x) = \frac{1}{2^l l!} \sum_{j=0}^{\lfloor l/2 \rfloor} (-1)^j \frac{l! (2l-2j)!}{j! (l-j)! (l-2j)!} x^{l-2j} $$

漸化式

$$ P_l(x) = \frac{(2l-1) xP_{l-1}(x) - (l-1) P_{l-2}(x)}{l}; P_0(x) = 1, P_1(x) = x $$

関連項目

• ルジャンドル陪関数 assoc_legendre

参照

• N3060 JTC1.22.29124 Programming Language C++ — Special Math Functions
• WG21 P0226R1 Mathematical Special Functions for C++17, v5
• ISO/IEC 29124:2010 Information technology -- Programming languages, their environments and system software interfaces -- Extensions to the C++ Library to support mathematical special functions
• P1467R9 Extended floating-point types and standard names
  • C++23で導入された拡張浮動小数点数型への対応として、float、double、long doubleのオーバーロードをfloating-point-typeのオーバーロードに統合し、拡張浮動小数点数型も扱えるようにした