feat: $3428

problems/3428.maximum-and-minimum-sums-of-at-most-size-k-subsequences.md

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+## 题目地址(3428. 至多 K 个子序列的最大和最小和 - 力扣（LeetCode）)
+
+## 题目描述
+
+给你一个整数数组 `nums` 和一个整数 `k`，请你返回一个整数，表示从数组中选取 **至多 k 个子序列**，所有可能方案中，子序列的 **最大值之和** 加上 **最小值之和** 的结果。由于结果可能很大，请返回对 \(10^9 + 7\) 取模后的值。
+
+一个数组的 **子序列** 是指通过删除一些（可以是 0 个）元素后剩下的序列，且不改变其余元素的相对顺序。例如，`[1, 3]` 是 `[1, 2, 3]` 的子序列，而 `[2, 1]` 不是。
+
+**示例 1：**
+
+```
+输入：nums = [1,2,3], k = 2
+输出：12
+解释：
+所有可能的至多 k=2 个子序列方案：
+- 空子序列 []：最大值和最小值都记为 0
+- [1]：最大值 1，最小值 1
+- [2]：最大值 2，最小值 2
+- [3]：最大值 3，最小值 3
+- [1,2]：最大值 2，最小值 1
+- [1,3]：最大值 3，最小值 1
+- [2,3]：最大值 3，最小值 2
+- [1,2,3]：最大值 3，最小值 1
+最大值之和 = 0 + 1 + 2 + 3 + 2 + 3 + 3 + 3 = 17
+最小值之和 = 0 + 1 + 2 + 3 + 1 + 1 + 2 + 1 = 11
+总和 = 17 + 11 = 28 % (10^9 + 7) = 28
+由于 k=2，实际方案数不会超过 k，但这里考虑了所有子序列，结果仍正确。
+```
+
+**示例 2：**
+
+```
+输入：nums = [2,2], k = 3
+输出：12
+解释：
+所有可能的至多 k=3 个子序列方案：
+- []：最大值 0，最小值 0
+- [2]（第一个）：最大值 2，最小值 2
+- [2]（第二个）：最大值 2，最小值 2
+- [2,2]：最大值 2，最小值 2
+最大值之和 = 0 + 2 + 2 + 2 = 6
+最小值之和 = 0 + 2 + 2 + 2 = 6
+总和 = 6 + 6 = 12 % (10^9 + 7) = 12
+```
+
+**提示：**
+- \(1 \leq nums.length \leq 10^5\)
+- \(1 \leq nums[i] \leq 10^9\)
+- \(1 \leq k \leq 10^5\)
+
+---
+
+## 前置知识
+
+- 组合数学：组合数 \(C(n, m)\) 表示从 \(n\) 个元素中选 \(m\) 个的方案数。
+- 贡献法
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+## 思路 
+
+这道题要求计算所有至多 \(k\) 个子序列的最大值之和与最小值之和。数组的顺序对每个元素的贡献没有任何影响，因此我们可以先对数组进行排序，然后计算每个元素作为最大值或最小值的贡献。
+
+我们可以从贡献的角度来思考：对于数组中的每个元素，它在所有可能的子序列中作为最大值或最小值的次数是多少？然后将这些次数乘以元素值，累加起来即可。
+
+### 分析
+1. **子序列的性质**：
+   - 一个子序列的最大值是其中最大的元素，最小值是最小的元素。
+   - 对于一个有序数组 \(nums\)，若元素 \(nums[i]\) 是子序列的最大值，则子序列只能从 \(nums[0]\) 到 \(nums[i]\) 中选取，且必须包含 \(nums[i]\)。
+   - 若 \(nums[i]\) 是子序列的最小值，则子序列只能从 \(nums[i]\) 到 \(nums[n-1]\) 中选取，且必须包含 \(nums[i]\)。
+
+2. **组合计数**：
+   - 假设数组已排序（从小到大），对于 \(nums[i]\)：
+     - 作为最大值的子序列：从前 \(i\) 个元素中选 \(j\) 个（\(0 \leq j < \min(k, i+1)\)），再加上 \(nums[i]\)，总方案数为 \(\sum_{j=0}^{\min(k, i)} C(i, j)\)。
+     - 作为最小值的子序列：从后 \(n-i-1\) 个元素中选 \(j\) 个（\(0 \leq j < \min(k, n-i)\)），再加上 \(nums[i]\)，总方案数为 \(\sum_{j=0}^{\min(k, n-i-1)} C(n-i-1, j)\)。
+   - 这里 \(C(n, m)\) 表示组合数，即从 \(n\) 个元素中选 \(m\) 个的方案数。
+
+3. **优化组合计算**：
+   - 由于 \(n\) 和 \(k\) 可达 \(10^5\)，直接用 \(math.comb\) 会超时，且需要取模。
+   - 使用预计算阶乘和逆元的方法，快速计算 \(C(n, m) = n! / (m! \cdot (n-m)!) \mod (10^9 + 7)\)。
+
+4. **最终公式**：
+   - 对每个 \(nums[i]\)，计算其作为最大值的贡献和最小值的贡献，累加后取模。
+
+### 步骤
+1. 对数组 \(nums\) 排序。
+2. 预计算阶乘 \(fac[i]\) 和逆元 \(inv_f[i]\)。
+3. 遍历 \(nums\)：
+   - 计算 \(nums[i]\) 作为最大值的次数，乘以 \(nums[i]\)，加到答案中。
+   - 计算 \(nums[i]\) 作为最小值的次数，乘以 \(nums[i]\)，加到答案中。
+4. 返回结果对 \(10^9 + 7\) 取模。
+
+---
+
+## 代码
+
+代码支持 Python3：
+
+Python3 Code:
+
+```python
+MOD = int(1e9) + 7
+
+# 预计算阶乘和逆元
+MX = 100000
+fac = [0] * MX  # fac[i] = i!
+fac[0] = 1
+for i in range(1, MX):
+    fac[i] = fac[i - 1] * i % MOD
+
+inv_f = [0] * MX  # inv_f[i] = i!^-1
+inv_f[-1] = pow(fac[-1], -1, MOD)
+for i in range(MX - 1, 0, -1):
+    inv_f[i - 1] = inv_f[i] * i % MOD
+
+# 计算组合数 C(n, m)
+def comb(n: int, m: int) -> int:
+    if m < 0 or m > n:
+        return 0
+    return fac[n] * inv_f[m] * inv_f[n - m] % MOD
+
+class Solution:
+    def minMaxSums(self, nums: List[int], k: int) -> int:
+        nums.sort()  # 排序，便于计算最大值和最小值贡献
+        ans = 0
+        n = len(nums)
+
+        # 计算每个元素作为最大值的贡献
+        for i, x in enumerate(nums):
+            s = sum(comb(i, j) for j in range(min(k, i + 1))) % MOD
+            ans += x * s
+
+        # 计算每个元素作为最小值的贡献
+        for i, x in enumerate(nums):
+            s = sum(comb(n - i - 1, j) for j in range(min(k, n - i))) % MOD
+            ans += x * s
+
+        return ans % MOD
+```
+
+---
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+**复杂度分析**
+
+
+- **时间复杂度**：\(O(n \log n + n \cdot k)\)
+  - 排序：\(O(n \log n)\)。
+  - 预计算阶乘和逆元：\(O(MX)\)，\(MX = 10^5\) 是常数。
+  - 遍历 \(nums\) 并计算组合和：\(O(n \cdot k)\)，因为对于每个 \(i\)，需要计算最多 \(k\) 个组合数。
+- **空间复杂度**：\(O(MX)\)，用于存储阶乘和逆元数组。
+
+---
+
+## 总结
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+这道题的关键在于理解子序列的最大值和最小值的贡献，并利用组合数学计算每个元素出现的次数。预计算阶乘和逆元避免了重复计算组合数的开销，使得代码能在时间限制内运行。排序后分别处理最大值和最小值贡献，是一个清晰且高效的思路。
+
+如果你有其他解法或疑问，欢迎讨论！